Departement Filosofie

Logica: De studie van wat waaruit volgt

Redeneren en argumenteren

De logica, een krachtig en vlijmscherp denkinstrument, onderzoekt redeneren en argumenteren. Wanneer is een redenering geldig? Hoe kun je correcte argumenten onderscheiden van drogredenen?

Wiskunde en logica

'Logica' - 'formele logica', 'symbolische logica', 'mathematische logica' - werd reeds bestudeerd door Aristoteles, de Stoïcijnen en middeleeuwse filosofen. In de geschriften van Ludwig Frege en Bertrand Russell kwam de discipline flink tot ontwikkeling, en ze werd volwassen met het werk van Kurt Gödel (1930/1931). Tegenwoordig maakt de logica onderdeel uit van zowel de filosofie als de wiskunde. Ze bestudeert wat waaruit volgt. Elke ontwikkeling van de wiskunde maakt gebruik van logica.

Een bekend voorbeeld is de presentatie van de meetkunde in Euclides' Elementen (330-320 v. Chr.), waarin stellingen logisch worden afgeleid uit axioma's (of postulaten). Analoog wordt logica gebruikt bij het organiseren van wetenschappelijke kennis, en als een hulpmiddel bij het redeneren en argumenteren in het dagelijks leven. Laten we nu eens kijken naar enkele eenvoudige betogen uit respectievelijk de getallenleer, de meetkunde en de natuurwetenschap.

 
a1 Als x=2, dan x 2 =4 a2 Als 0=1, dan 1=2
  x 2 ¹ 4   0 ¹ 1
  Dus x ¹ 2   Dus 1 ¹ 2
b1 Als driehoek ABC gelijk-hoekig is, dan is hij gelijkbenig. b2 Als driehoek ABC gelijk-hoekig is, dan is hij gelijkbenig.
  Driehoek ABC is niet gelijkbenig.   Driehoek ABC is niet gelijkhoekig.
  Dus driehoek ABC is niet gelijkhoekig   Dus driehoek ABC is niet gelijkbenig
c1 Als het sneeuwt, dan is het koud c2 Als het sneeuwt, dan is het koud
  Het is niet koud   Het sneeuwt niet
  Dus het sneeuwt niet   Dus het is niet koud

Merk op dat alle bovenstaande redeneringen bestaan uit twee premissen en één conclusie . En verder dat de redeneringen onder a1 , b1 en c1 een zelfde structuur hebben, namelijk het volgende patroon:

 
1 Als P 1 , dan P 2 P 1 É P 2
  Niet P 2 ¬ P 2
  Dus niet P 1 ¬ P 1

Dit redeneerpatroon kan gerepresenteerd worden door het rechtsboven vermelde schema, indien we É gebruiken voor 'als ..., dan ...' en ¬ voor 'niet'. Ook de redeneringen onder a2 , b2 en c2 hebben een zelfde patroon, namelijk het volgende:

 
2 Als P 1 , dan P 2 P 1 É P 2
  Niet P 1 ¬ P 1
  Dus niet P 2 ¬ P 2

Geldig redeneerpatroon

Het eerste redeneerpatroon is geldig , dat wil zeggen dat het onmogelijk is voor P 1 en P 2 zodanige uitspraken in te vullen dat uit de premissen P 1 É P 2 en ¬ P 2 twee ware uitspraken ontstaan, terwijl tegelijkertijd de conclusie ¬ P 1 een onware uitspraak oplevert. Want stel dat P 1 en P 2 respectievelijk geïnterpreteerd worden als de uitspraken P 1 * (0=1, het sneeuwt, ...) en P 2 * (1=2, het is koud, ...), en stel dat 'als P 1 * , dan P 2 * ' en 'niet P 2 * ' beide waar zijn. Dan moet 'niet P 1 * ' eveneens waar zijn. Immers stel dat dit niet het geval was; dan zou P 1 * waar zijn en dus - aangezien 'als P 1 * , dan P 2 * ' verondersteld werd waar te zijn - zou P 2 * waar zijn. Dit levert een contradictie op, daar 'niet P.

Merk op dat dit inzicht niet afhankelijk van de keuze van P 1 * en P 2 * is. P 1 * en P 2 * kunnen willekeurige uitspraken zijn, uit de getallenleer, de meetkunde, de economische wetenschap, de filosofie, het dagelijks leven, en zo voort.

Concrete redeneringen die een onderliggend redeneerpatroon hebben dat geldig is, worden juiste of correcte redeneringen genoemd. Dus de redeneringen onder a1 , b1 en c1 zijn correct aangezien het bijzondere instanties zijn van het geldige patroon

 
1 P 1 É P 2
  ¬ P 2
  ¬ P 2

En van juiste redeneringen weten we dat het onmogelijk is dat de premissen waar zijn en de conclusie onwaar.

Ongeldig redeneerpatroon

Het tweede redeneerpatroon nu is ongeldig , dat wil zeggen dat het wél mogelijk is voor P 1 en P 2 zodanige uitspraken in te vullen dat uit de premissen P 1 É P 2 en ¬ P 1 twee ware uitspraken ontstaan, terwijl tegelijkertijd de conclusie ¬ P 2 een onware uitspraak oplevert (m.a.w., P 2 waar is). Stel dat P 1 en P 2 respectievelijk geïnterpreteerd worden als de uitspraken P 1 * (het sneeuwt, ...) en P 2 * (het is koud, ...), en stel dat 'als P 1 * , dan P 2 * ' en 'niet P 1 * ' beide waar zijn. Dan betekent dit niet dat 'niet P 2 * ' eveneens waar is. Immers, de conclusie 'niet P 2 * ' kan ook waar zijn op andere gronden dan de hier gegeven premissen. Uit het feit dat het niet sneeuwt, kan niet worden afgeleid dat het niet koud is. Het kan immers om andere redenen koud zijn.

Bepalen of de premissen en de conclusie van een concrete redenering waar dan wel onwaar zijn, is niet de taak van de logicus; afhankelijk van het onderwerp is het een zaak voor de wiskundige, de econoom, de filosoof, de natuurkundige, en zo voort.

De logicus laat zich niet in met de waarheid of de onwaarheid van premissen of conclusies. Hij houdt zich alleen bezig met de geldigheid dan wel de ongeldigheid van het onderliggende redeneerpatroon van een concrete redenering, en wanneer dit patroon geldig is kan hij slechts zeggen: als de premissen van de concrete redenering in kwestie waar zijn, dan moet de conclusie eveneens waar zijn.


Kurt Gödel, een van de belangrijkste logici ooit, beroemd om zijn 'onvolledigheidsstelling'.